Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

Trang 1

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

MỤC LỤC
PHẦN A .................................................................................................................................................. 4
NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .................................................... 4
KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ............................................... 5
PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP .............................................................................................................. 7
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ............................................................................. 7
A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai. .................................... 7
B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax 2  bx  c  0 ...................................................... 8
C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c ............................................................................. 12
D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm (

1
1
; x12  x22 …) .. 12

x1 x 2

E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. ............................................... 14
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN
PHỤ ................................................................................................................................................... 16
A. Giải và biện luận phương trình. ................................................................................................ 16
B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều kiện cho
trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch đảo,  ( ,  ) ;

 ,   …)................................................................................................................................... 18
C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương trình. ... 20
D. Lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối giá trị tham số của phương trình.. 20
E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (:  x1   x2   ;

 ( x1  x2 )   x1 x2   ;  x1   x1 x2   …) .......................................................................... 20
F. Tìm điều kiện của giá trị tham số của phương trình để biểu thức liên hệ giữa các nghiệm lớn
nhất, nhỏ nhất. ............................................................................................................................... 20
G. Tìm công thức tổng quát của phương trình khi biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại. ........... 20
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN PHỤ. ....... 21
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .. 29
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG .................................................................................... 29
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC ....................................................................... 32

A  0
....................................................................... 34
B  0

3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: A.B  0  

IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................ 36
Dạng 1: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy): ........................................................... 36
Dạng 2: Phương trình:  x  a  x  b  x  c  x  d   e, trong đó a+b=c+d ................................. 36
Dạng 3: Phương trình  x  a  x  b  x  c  x  d   ex2 , trong đó ab  cd . Với dạng này ta chia
hai vế phương trình cho x2  x  0 . Phương trình tương đương: .................................................... 36

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 2

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

Dạng 4: Phương trình  x  a    x  b   c . Đặt x  t 
4

4

ab
ta đưa về phương trình trùng
2

phương .............................................................................................................................................. 36
Dạng 5: Phương trình chứa mẫu số là phương trình bậc hai ............................................................ 38
BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ............................................ 41

HƯỚNG DẪN GIẢI – PHẦN A ........................................................................................................ 42
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ........................................................................... 42
2
B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax  bx  c  0 .................................................... 42

C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c ............................................................................. 43
D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm (

1
1
2
2

; x1  x2 …) .. 44
x1 x 2

E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm. ............................................... 45
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN
PHỤ ................................................................................................................................................... 47
BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. ............................................................ 47
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .. 80

A  0
....................................................................... 80
B  0

3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH: A.B  0  

IV. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ............................ 82

PHẦN B: CÁC DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO PHỨC TẠP .................................... 89
I. PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 89
II. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC................................................................................ 92
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ:......................................................................................... 93
V. ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC................................................................................................. 100
VI. NHIỀU CĂN BẬC LẺ:............................................................................................................. 102
VII. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CẢ CĂN BẬC CHẲN, CẢ CĂN BẬC LẺ ....................................... 103

................................................... 104
PHẦN C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÁC ĐỀ THI VÀO 10 THPT
I.

Phương trình bậc nhất ........................................................................................................ 104

II.

Phương trình bậc hai .......................................................................................................... 104

III.

Phương trình trùng phương ............................................................................................ 108

IV.

Phương trình chứa căn thức và trị tuyệt đối ................................................................... 108

V.
VI.

Phương trình chứa tham số ................................................................................................. 110
Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương trình bậc cao ..................................................... 117

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 3

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

PHẦN A
NHẮC LẠI VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Phương trình bậc nhất một ẩn:
 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax
đó x là ẩn số ; a , b là các số cho trước gọi là các hệ số a 0 .
 Phương pháp giải: ax

b

0

ax

b

0 trong

b

b
.
a

x

Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải các phương trình:
a) 2 x

1

0.

1

0

b) x

2018

0.

c)

2x

3 2

0.

Giải
a) 2 x
b) x

2018

2x

c)

1
.
Vậy phương trình có nghiệm x
2
x 2018 . Vậy phương trình có nghiệm x

x
0

3 2

0

2x

3 2

x

b)

2
x
3

1
.
2
2018 .

3 . Vậy phương trình có nghiệm x

3.

Bài 2: Giải các phương trình:
a)

x 1
2

1

x

1
4

1

x

5

x
3

c) 2 x 1

1

Giải
x 1
x 1
2x 2 4 x 1
x
1 .Vậy pt có nghiệm x
1.
1
2
4
2
1
x 1 x 5
x 6
x 18 . Vậy phương trình có nghiệm x 18 .
b)
3
3
x
9
9
1 5x 9
x
c) 2 x 1
. Vậy phương trình có nghiệm x
.
3
5
5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1.
Giải các phương trình sau:
9.
a) 6 3 x
d) 2 x 1 4 x .
g) 2 x 1 3 x .
b) 3 x 2 x 3 .
e) 5 x 6 3 x .
h) 3 x 5 x 1 .
c) 3 x 4 2 .
f) 2 x 1 3 x 5 .
4 6.
i) 2 x

a)

Đáp số:
a) x
b) x
c) x

5.
1
.
2
2.

d) x
e) x
f) x

2
.
3
3.
6.

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

g) x
h) x
i)

x

5
.
3
3.

6

4
2

Trang 4

.

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

KIẾN THỨC CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax 2  bx  c  0 , trong đó x là
ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a  0 .
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 (a  0) và biệt thức   b2  4ac :
b  
b  
; x2 
.
2a
2a

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 
 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1  x2  

b
.
2a

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì  > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm
phân biệt.
3. Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 (a  0) và b  2b ,   b2  ac :

 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 
 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1  x2  

b  
b  
; x2 
.
a
a

b
.
a

 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.
4. Hệ thức Viet

 Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) thì:

b
c
 x1  x2   ; x1x2 
a
a


 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
X 2  SX  P  0

(Điều kiện để có hai số đó là: S 2  4P  0 ).

5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai:
(1) có hai nghiệm trái dấu

ax 2  bx  c  0 (a  0)

(1)

 P0

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 5

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

(1) có hai nghiệm cùng dấu


   0

(1) có hai nghiệm dương phân biệt

  0

 P  0
S  0

(1) có hai nghiệm âm phân biệt

  0

 P  0
S  0

P  0

Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

 Nếu nhẩm được: x1  x2  m  n; x1x2  mn thì phương trình có nghiệm
x1  m, x2  n .
c
 Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm x1  1, x2  .
a
c
 Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm x1  1, x2   .
a

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 6

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

PHẦN CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ
A. Xác định phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình bậc hai.
Phương pháp: Học sinh xác định đúng dạng của phương trình bậc hai là ax 2  bx  c  0 và
các hệ số a, b, c tương ứng với điều kiện a  0 .
Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai? Chỉ rõ các hệ
số a, b, c của mỗi phương trình ấy.

a) x 2  5  0

b) x 3  3x 2  6  0

d ) x 2  3x  0

e) 2x - 5 = 0

1
0
2
f) -3x 2  2 x  4  0

c) 2 x 2  5x 

Giải: Phương trình bậc hai là các phương trình a; c; d; f
Phương trình x 2  5  0 có các hệ số a  1; b  0, c   5
Phương trình

2 x2  5x 

1
1
 0 có các hệ số a  2; b  5; c 
2
2

Phương trình x 2  3x  0 có các hệ số a  1; b  3; c  0
Phương trình -3x 2  2x  4  0 có các hệ số a  3; b  2; c  4
Lưu ý: Dạng toán này đơn giản nhưng cần khắc sâu cho học sinh trung bình, yếu phải chỉ rõ
được đúng hệ số để khi giải bài toán bằng công thức nghiệm thay số chính xác.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài A.1: Chỉ ra hệ số a,b,c trong các phương trình sau:
6x2 +9x + 1= 0

8x2 -12x + 3 = 0

5x2 + 3x - 2 = 0

x2 - x 11 = 0

2x2 - 3x - 2 = 0
1 2 3
x + x=0
2
4

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

2x2 - (4- 5)x -2 5 = 0
- x2 + 3x - 4 = 0

Trang 7

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

B. Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát ax 2  bx  c  0
Phương pháp 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình tích đó.
(Lớp 8)
Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để
giải phương trình bậc hai.
Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:
Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm x1  1, x2 

c
.
a

c
Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm x1  1, x2   .
a
Bài tập minh hoạ:
Bài 1: Giải phương trình sau:
a) 3x2  5x  2  0

b) 5x2  6x  1  0

Giải:
a) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
3 x 2  5 x  2  0  3 x 2  6 x  x  2  0  3 x( x  2)  ( x  2)  0
1

x
3 x  1  0

 (3x  1)( x  2)  0  

3

x  2  0
 x  2

 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2; 
 3

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.
Ta có a  3; b = 5; c = -2   b2  4ac  52  4.3.(2)  25  24  49  0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 

b   5  49 5  7 2 1
b   5  49 5  7 12


 



 2
; x2 
2a
2.3
6
6 3
2a
2.3
6
6

 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2; 
 3

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 8

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử:
5 x 2  6 x  1  0  5 x 2  5 x  x  1  0  5 x( x  1)  ( x  1)  0
1

x
5 x  1  0

 (5 x  1)( x  1)  0  

5

 x 1  0
x

1


 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1; 
 5

Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (công thức nghiệm tổng quát) để giải:
Ta có a  5; b =  6  b' =

b
6
=
= -3; c = 1
2
2

 '  b2  ac  (3) 2  5.1  9  5  4  0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 

b '  ' (3)  4 3  2


1
a
5
5

x2 

b '  ' (3)  4 3  2 1



a
5
5
5

Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm.
Ta có a  5; b =  6; c = 1 và a  b  c  5  (6)  1  0 vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt là x1  1 và x2 

c 1
 .
a 5

* Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2
 Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường. (không cần giải
theo công thức ) VD : x2  2 x  1  0 

x

 1  0  x = 1
2

 Phải sắp xếp đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax2  bx  c  0 rồi mới áp
dụng công thức :
VD: x  x  5  24  x2  5x  24  x2  5x  24  0  Áp dụng CT giải tiếp.............
Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn t , ẩn b , ẩn a ... tùy vào cách ta chọn
biến :
VD: b2 10b  16  0  áp dụng CT giải tiếp với ẩn là b .....................................................
 PT bậc 2 chứa căn ở các hệ số a, b, c thì ở ∆ ta buộc phải rút căn bậc hai
VD: x 2  (2  3) x  2 3  0 ( a  1; b  (2  3); c  2 3 )
Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 9

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

2

  (2  3)   4.1.2 3  7  4 3    .....
(Xem chuyên đề căn bậc 2: Dạng biểu thức trong căn là Hằng đẳng thức)
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài B.1: Giải các phương trình:
a) x2 5x 6 0 .
c) x2

0.

2 x 10

b) x2

2x 1

d) 9 x2

12 x

0.
0.

4

Bài B.2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
a) x 2

1

c) x2

x

2 x

2

b) 2 x 2

0.

d) x2

0.

6

3

9x

2 x

20

3

0.

0.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài B.01: Giải các phương trình sau:
a) x 2

2 5x

d) x2

6 x 14

g) 2 3x2

5

0.

x 1

j) 16x2

40x

m) x 2

2

p) x 2

2 2x

b) x2

0.

25

3 1 x
4

e)

x

h)

0.

k) 2 x2

3 x

2

4 x2

3 x 1.

2 3

3

0.

n) 2 x2

2 .

q)

16 .

f)

x2

4x 1

0.

i)

7 x2

2x

2

0.

l)

x2

27

0.

o) 7 x2

3x

x2

c) 2 x2

0.

9 x 10

3x 10 3

0.

r)

x2

5

0.

8x 15

0.

3x

9

0.

8x 19

0.

8x

8x

3x

9

0.

0.

Đáp số:
a) x

5.

d) Vô nghiệm.

x

g)
x
x

j)
m)

x
x

p)

e)

3
3
3 3
6

x
x

h) x1,2

3

2
1
7

c) Vô nghiệm..
.

.

f)

2

2
4

x
x

3
.
5

i) Vô nghiệm..
.

3

k) x1,2
3

41

.

5
.
4

3

9

b) x1,2

1

x

2

2

4

9
n)
2 .
x
3
q) Vô nghiệm...

1
2

2 5

x

.

x

2

.

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

l) Vô nghiệm..
.
o) x1,2

r)

x
x

4

79
7

.

0
.
3

Trang 10

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

Bài B.02. Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
a) 3x2

11x

d) 5x2

24 x 19

2018x2

g)
j)

8

x

2 x2

1

0.
0.
2017

21

0.

2 x

b) x 2

1

e) 3x2

19 x

h) x2

12 x

1 3 2

0

x

1

3 x

3

22

0.

0.

0.

27
k) 1

3 x2

c) 3x2
f)

x2

i)

5x2

2 3x

19 x
10 x

22
21

17 x 12

3 1

0.

x

1
22 .
3

0.
0.
0.

Đáp số:
x

a)

x

1
8.
3

x

d)

g)

1
19 .
5

x
x

b)

x

e)

1
2017 .
2018

x

x

h)

3

c)

1

f)

22 .
3

x
x
x

.

3
.
9

i)

x

x
j)

x

1

k)

1 3 2
1

x

x
x
x

3
.
7

x

1
12 .
5

x

1
3 1.
1

3

2

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 11

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

C. Giải phương trình bậc hai khuyết b hoặc c
Phương pháp:
Dạng khuyết b : đối với phương trình ax 2  c  0  a  0 ta biến đổi  x 2 
trình này có nghiệm khi và chỉ khi

c
. Phương
a

c
c
 0 . Lúc này nghiệm của phương trình là x  
a
a

Dạng khuyết c : Đối với phương trình ax 2  bx  0 ta có thể biến đổi về phương trình tích
ax 2  bx  0  x(ax + b) = 0 để giải. Lúc này phương trình có 2 nghiệm là x  0 và x 

Ví dụ minh hoạ: Giải phương trình: a) 2 x 2  8

b
.
a

b) x2  5x  0

Giải:
a) 2 x 2  8  x 2 

x  4
x  2
8
 x2  4  

. Kết luận nghiệm.
2
 x  2
 x   4

x  0
x  0

b) x 2  5 x  0  x( x  5)  0  
. Kết luận nghiệm.
x  5  0
x  5

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài C1: Giải các phương trình sau:
a. 5 x 2  3 x  0
b. 2 x 2 – 6 x  0
d . 4 x 2 – 16 x  0
e. – 0, 4 x 2  1, 2 x  0

c. 7 x 2 – 5x  0
f . 3, 4 x 2  8, 2 x  0

D. Cho phương trình bậc hai, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm (

1
1
; x12  x22

x1 x 2

…)
Phương pháp: Sử dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các
nghiệm từ đó tính được giá trị biểu thức.
Các hệ thức thường gặp:


x12  x22   x12  2 x1.x2  x22   2 x1.x2   x1  x2   2 x1.x2  S 2  2P .



x1  x2  

 x1  x2 

2

 4x1 x2   S 2  4P .



x2  x1  

 x1  x2 

2

 4x1 x2   S 2  4P .



x12  x22   x1  x2  x1  x2     x1  x2 

2

 x1  x2 

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

2

 4x1 x2   S. S 2  4P .

Trang 12

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”



2
x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x22    x1  x2   x1  x2   3x1.x2   S.  S 2  3P  .





2
x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   2 x12 .x2 2   x1  x2   2 x1 x2   2 x12 x22 .


2

2

2

2

  S 2  2P   2P 2 .
2



1 1 x1  x2 S
 
 .
x1 x2
x1 x2
P



1 1 x2  x1
 

x1 x2
x1 x2



 x1  x2 
x1 x2 x12  x2 2  x1  x2  x1  x2 
 


x2 x1
x1 x2
x1 x2



2
x13  x23   x1  x2   x12  x1.x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1.x2  .





 x1  x2 

 4 x1 x2

2

S 2  4P
.
P



x1 x2

 x1  x2 

 

2

 x1  x2 

2

 4 x1 x2

x1 x2



2
 4 x1 x2  x1  x2   x1.x2   







S 2  4 P  S 2  P 



x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2  x12  x2 2     S 2  2P  S . S 2  4P
2

S. S 2  4P
P



2



Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 x
trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:
1
1
B x12 x2 2 .
.
A
C x1
x1 x2

2

2

0 . Không giải phương
D

x2 .

x13

x23 .

Giải

S

x1

P

x1 x2

Ta có:

A

1
x1

1
x2

B

x12

x2 2

C

x1

x2

D

x13

x23

b
a

x2
c
a
x2 x1
x1 x2

x1

x1
x1

1
2

2
1
2

x2

x2
x2

2

2

3

2

.
1

x1 x2

x1
3x1 x2 x1

2

x2

2

x2

2

3

1 4

4x1 x2
1

2.

3

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

2

2
2

2
7

2 2 1.
3 2.

Trang 13

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài D.1. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x2

3x

0 . Không giải phương trình

7

Tính các giá trị của các biểu thức sau:
1
1
.
A
x1 1 x2 1

B

x12

x2 2 .
x23 .

C

x1

x2 .

D

x13

E

x14

x2 4 .

F

3x1

x1 .

x2 3x2

Bài D.2. Cho phương trình x 2  4 3 x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình,
6 x12  10 x1 x2  6 x22
tính Q 
5 x1 x23  5 x13 x2

Bài D.3: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2

5x

0 . Không giải phương

6

trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

A

3x1

C

x1

2x2 3x2

x2

B

2x1 .

D

x2

x1

x1

1

x1

2

x2

1

x2

x1

.
2

x2

.

E. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm.
Phương pháp: Áp dụng: nếu x1  x2  S ; x1 x2  P thì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình

X 2  SX  P  0
Ví dụ minh hoạ
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

1
10

và

72

1
10

6 2

.

Giải:
S

Ta có:
P

1

1

5
10
72 10 6 2 7
1
1
1
.
10
72 10 6 2 28

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm

1
10

72

và

Bài 2: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x2
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

1
x1

1

và

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

1
10

6 2

3x

7

1
x2

1

là : X 2

5
X
7

1
28

0

0 . Không giải phương trình

.

Trang 14

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

Giải:
Ta có a.c  0  Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

S
P

1
x1

1
1

x1

x2

1
x2
.

1 x2

1

x1 x2

1

x1
x1

2
x

2

1
9

1

1
9

1

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là

1
x1

1

và

1
x2

1

là: X 2

1
X
9

1
9

7x

0 . Không giải phương

0.

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
Bài E.1. Gọi p và q là hai nghiệm của phương trình: 3x2
trình hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

p
q 1

Bài E.2: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2

và

4

q

.

p 1

5x

0 . Không giải phương

6

trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn: y1
y2

2 x2

2 x1

x2 và

x1 .

Bài E.3: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: 2 x2

0 . Không giải phương

3x 1

trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn:

a)

y1

x1

2

y2

x2

2

.

y1

x12
x2

y2

x2 2
x1

b)

Bài E.4: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x2

.

0 . Không giải phương trình

x 1

hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thỏa mãn:

y1
a)

y1
y2

y2
y2
y1

x1
x2
3x1

x2
x1

.

3x2

b)

y1

y2

y12

y2 2

x12
5 x2

x2 2
5 x1

0

.

Bài E.5: Cho phương trình : x2  3x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương
trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1  x2 

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

1
1
và y2  x1 
x1
x2

Trang 15

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BÀI
TOÁN PHỤ
A. Giải và biện luận phương trình.
Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Với tham số ở hệ số của phương trình bậc 2.
Cho phương trình : mx2 – 2  m  2 x  m – 3  0  với m là tham số .
Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình 
Giải:
Bước 1: + Nếu m = 0 thay vào  ta có : 4x – 3 = 0  x =

3
4

Bước 2 + Nếu m  0 .Lập biệt số  /   m – 2  – m  m  3   m  4
2

/ < 0   m  4  0  m > 4 : phương trình  vô nghiệm
/ = 0   m  4  0  m = 4 : phương trình  có nghiệm kép
x1  x2 

b / m  2 4  2 1



a
m
2
2

/ > 0   m  4  0  m < 4: phương trình  có 2 nghiệm phân biệt
x1 

m  2  m  4
m

;

x2 

m  2  m  4
m

Vậy : m > 4 : phương trình vô nghiệm
m = 4 : phương trình Có nghiệm kép x =

1
2

0  m  4 : phương trình  có hai nghiệm phân biệt:

x1 

m  2  m  4
m

;

x2 

m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x =

m  2  m  4
m

3
4

Bài 2: Với hệ số của phương trình bậc 2 đã cho khác 0.
Cho phương trình: x2  2 x  m 1  0  ( m là tham số). Biện luận theo m số nghiệm của
phương trình.
Giải:
Ta có '  12 –  m 1  2 – m
  0  2  m  0  m  2 thì phương trình  vô nghiệm.

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 16

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

  0  2  m  0  m  2 thì phương trình  có nghiệm kép x1  x2 

b
 1
a

  0  2  m  0  m  2 thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt

x1 

b  
b  
 1  2  m ; x2 
 1  2  m
a
a

Kết luận: Vậy m  2 phương trình  vô nghiệm.
m  2 thì phương trình  có nghiệm kép x1  x2 

b
 1
a

m  2 thì phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1 

x2 

b  
 1  2  m ;
a

b  
 1  2  m
a

Bài 3: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2  m  1  2m  10  0
Giải.
Ta có    m  1 – 2m  10  m2 – 9
2

+ Nếu / > 0  m2 – 9  0  m  3 hoặc m  3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt:

x1  m  1  m2  9

; x2  m  1  m2  9

+ Nếu / = 0  m =  3
-

Với m  3 thì phương trình có nghiệm là x1.2  4
Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2  2

+ Nếu / < 0  3  m  3 thì phương trình vô nghiệm
Kết kuận:




Với m  3 thì phương trình có nghiệm x = 4
Với m   3 thì phương trình có nghiệm x  2
Với m  3 hoặc m  3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 -



m2  9

x2 = m + 1 +

m2  9

Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý: Khi giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số ta cần lưu ý trường hợp
tham số nằm ở phần hệ số của lũy thừa bậc hai của ẩn.

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 17

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

B. Tìm giá trị tham số của phương trình để phương trình có nghiệm thoả mãn một điều
kiện cho trước: (2 nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm, đối nhau, nghịch
đảo,  ( ,  ) ;  ,   …)
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm

x1

x2

trái dấu



cùng dấu,





cùng dương,

+

+

cùng âm





S  x1  x2

P  x1 x2



Điều kiện chung

P<0

0

  0 ; P < 0.

P>0

0

0 ;P>0

S>0

P>0

0

0 ;P>0;S>0

S<0

P>0

0

  0 ; P > 0 ; S < 0.

Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xét   0 ; còn nếu đề
bài chỉ nói chung chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xét   0
Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2  bx  c  0 (a  0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm)    0
2. Vô nghiệm   < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
 a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x1+ x2 =

b
c
; P = x1.x2 = )
a
a

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

Trang 18

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

Ví dụ minh hoạ:
Bài 1: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x – tham số m)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12  x2 2  10
Giải
2

1  15

a) Ta có:  = (m-1) – (– 3 – m ) =  m   
2
4

'

2

2

15
1

Do  m    0 với mọi m;
 0   > 0 với mọi m.
4
2

 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S  x1  x2  2(m  1) và P  x1. x2    m  3
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0
2(m  1)  0
m  1


 m  3
 (m  3)  0
m  3

Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S  x1  x2  2(m  1) và P  x1. x2    m  3
Khi đó A  x12  x22 

 x1  x2 

2

 2 x1 x2  4  m  1  2  m  3  4m2 – 6m  10
2

Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m  2m  3  0

 m  0

 m  0
 m  3

3

2
m

3

0
m

2






2
 m  0

m

0



m  0

3
2m  3  0
 m 
2


Vậy m 

Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960

3
hoặc m  0
2

Trang 19

Ủng hộ word liên hệ: 0986 915 960

“Giải phương trình một ẩn”

Bài 2: Cho phương trình: x2  2 x  m  1  0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1  2 x2  1
Giải
a) Ta có ' = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

'  0
2  m  0
m  2



m2
m  1  1
m  2
P  1
Vậy m = 2
b) Ta có ' = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1  2 x2  1 (3)

 x  x  2
2 x  2 x2  4  x1  5
x  5
Từ (1) và (3) ta có:  1 2
 1

 1
3x1  2 x2  1 3x1  2 x2  1
 x1  x2  2  x2  7
Thế vào (2) ta có: 5  7   m 1  m   34 (thoả mãn (*))
Vậy m   34 là giá trị cần tìm.
C. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị tham số của phương
trình.
Phương pháp: Ta chỉ ra phương trình có a.c  0 hoặc   0 ;    0
D. Lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 sao cho x1 ; x2 độc lập đối giá trị tham số của phương
trình.
Phương pháp: Ta thường biến đổi để đưa về dạng  S   P   với S và P là tổng và tích 2
nghiệm.  ,  ,  là các số thực.
E. Tìm giá trị tham số của phương trình thoả mãn biểu thức chứa nghiệm: (:
 x1   x2   ;  ( x1  x2 )   x1 x2   ;  x1   x1 x2   …)
F. Tìm điều kiện của giá trị tham số c...